sum_{i=1}^t beta_3^{t-i} \sum_{j=1}^i beta_1^{i-j} g_j
怎么交换求和符号，先完成一重求和？
我们需要交换求和符号的顺序，将原来的双重求和表达式重新排列，以便先完成一重求和。原表达式为：
i=1∑tβ3t−ij=1∑iβ1i−jgj第一步：理解求和范围
首先，我们需要明确两个求和变量的范围：
- 外层求和变量 i 从 1 到 t。
- 内层求和变量 j 从 1 到 i。
这意味着，对于每一个 i，j 的取值范围是 1 到 i。我们可以将求和范围可视化为一个二维平面，其中 i 是行，j 是列，且 j≤i。
第二步：交换求和顺序
为了交换求和顺序，我们需要重新描述求和范围。具体来说，我们可以固定 j，然后确定 i 的取值范围。
- 对于固定的 j，i 的取值范围是从 j 到 t。
因此，我们可以将原表达式重写为：
j=1∑ti=j∑tβ3t−iβ1i−jgj第三步：提取与 i 无关的项
注意到 gj 仅依赖于 j，因此可以将其从内层求和中提取出来：
j=1∑tgji=j∑tβ3t−iβ1i−j第四步：简化内层求和
现在，我们专注于简化内层求和：
i=j∑tβ3t−iβ1i−j我们可以进行变量替换，令 k=i−j。当 i=j 时，k=0；当 i=t 时，k=t−j。因此，内层求和变为：
k=0∑t−jβ3t−(j+k)β1k=k=0∑t−jβ3t−j−kβ1k=β3t−jk=0∑t−j(β3β1)k这是一个等比数列求和，公比为 β3β1。等比数列求和公式为：
k=0∑nrk=1−r1−rn+1（当 r=1）因此，内层求和的结果为：
β3t−j⋅1−β3β11−(β3β1)t−j+1=β3−β1β3t−j+1−β1t−j+1（假设 β1=β3）第五步：合并结果
将内层求和的结果代入原表达式，我们得到：
j=1∑tgj⋅β3−β1β3t−j+1−β1t−j+1特殊情况：β1=β3
如果 β1=β3，则内层求和变为：
k=0∑t−jβ3t−j−kβ3k=k=0∑t−jβ3t−j=(t−j+1)β3t−j因此，当 β1=β3 时，原表达式为：
j=1∑tgj(t−j+1)β3t−j最终答案
综上所述，交换求和顺序并简化后的表达式为：
- 当 β1=β3 时：
- 当 β1=β3 时：