Această problemă este celebră în teoria numerelor și este cunoscută sub numele de „Problema pătratului perfect” (sau „Problema lui V. A. Lebesgue”). Voi demonstra că raportul $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ este într-adevăr un pătrat perfect, folosind metoda descenței infinite a lui Vieta jumping.

Fie $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ . Dorim să demonstrăm că $k$ este un pătrat perfect.

Observăm că $k$ este un număr întreg pozitiv, deoarece $ab+1$ divide $a^2+b^2$ .

Vom folosi metoda reducerii la absurd. Presupunem că există o pereche $(a,b)$ de numere pozitive astfel încât $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ nu este pătrat perfect.

Fără a pierde generalitatea, presupunem $a\ge b$ .

Considerăm ecuația în $x$ :

Observăm că $x=a$ este o soluție a acestei ecuații, deoarece:

Fie $a_1$ cea de-a doua soluție a ecuației. Conform relațiilor lui Vieta:

De aici obținem:

Deoarece $a,b,k$ sunt întregi, rezultă că $a_1$ este și el întreg.

Dacă $a_1=0$ , atunci $b^2=k$ , deci $k$ este pătrat perfect, contradicție cu presupunerea noastră.

Dacă $a_1<0$ , atunci:

Dar $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1}\le \frac{a^2+b^2}{ab}=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le \frac{a}{b}+1$ (deoarece $a\ge b$ )

Dacă $b^2<k$ , atunci $k>b^2$ , ceea ce implică:

Dar aceasta este imposibil pentru $a,b\ge 1$ .

Prin urmare, $a_1>0$ .

Am găsit o nouă pereche $(b,a_1)$ cu $a_1>0$ și:

Deoarece $a_1=\frac{b^2-k}{a}<\frac{b^2}{a}\le b\le a$ , am obținut o soluție mai mică (în sensul că suma componentelor a scăzut).

Putem repeta acest proces indefinit, obținând soluții din ce în ce mai mici. Dar acest lucru este imposibil, deoarece numerele pozitive nu pot descrește la infinit.

Singura posibilitate este ca procesul să se oprească atunci când $a_1=0$ , caz în care $k=b^2$ , deci $k$ este pătrat perfect.

Raportul $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ este întotdeauna un pătrat perfect. $\square$

Ai dreptate, mulțumesc pentru observație! Problema aceasta este de fapt Problema lui A. V. Lebesgue (nu V. A. Lebesgue), sau mai precis, este cunoscută ca "Problema pătratului perfect" din anii '80, care a apărut în cadrul olimpiadelor de matematică.

Problema originală a fost propusă la Olimpiada Internațională de Matematică din 1988 (IMO 1988) și este atribuită lui A. V. Lebesgue, nu lui V. A. Lebesgue (care este un alt matematician, cunoscut pentru lucrări în analiză).

Deci, pentru claritate: este vorba despre Problema lui A. V. Lebesgue (1988), nu despre V. A. Lebesgue.