概念解释看见微积分

00从这里开始01此刻有多快02放大到笔直为止03斜率机器04每一点都有一个斜率05斜率为零之处06把薄片加起来07两个想法相遇08升一个维度09计算器是怎么算的10一个函数，三种视角*—*你现在知道了什么

0%

一次插图导论

微积分是 关于变化的 两个问题

这里没有要背的公式，除了算术和愿意看图之外，不预设任何基础。 下面的一切，都是由同一对问题反复追问搭起来的。

01此刻有多快？

给定一个会变的东西 —— 一段距离、一个温度、一个价格 —— 它在这一刻变得有多快？这个答案叫作导数。

02总共有多少？

给定一个一直在变的速率，它在一段时间里累积了多少？ 这个答案叫作积分。

往下滚 —— 每个想法都配一幅画

第一章

时速表是一台奇怪的机器

速度是距离除以时间。可时速表报的是某一瞬间的速度 —— 而在一个瞬间里，没有走过距离，也没有流逝时间。微积分的起点，就是认真对待这个矛盾。

01把一段路画出来

一辆车开了四十秒。时间沿着图的底边走，距离沿着侧边爬。这条线就是整段行程：每一秒都在里面，收进一个形状。在画面上拖动，就能走过这段路。

02平均速度是简单的那个

总距离除以总时间。在图上就是从第一刻连到最后一刻的那条虚线 —— 要用同样匀速走完同样的路，得有多陡。它是个真实的数字，可它几乎不告诉你这段路里任何一秒的事。

03那个别扭的问题

在恰好第 14 秒 —— 图上标出的那个瞬间 —— 指针意味着什么？把车冻在那里，它在零秒里走了零米。零除以零不是一个数字，那是一个耸肩。

04陡峭就是速度

换个角度，看形状。图爬得急的地方车快，压平的地方车在挪。于是「此刻有多快」变成了一个几何问题：**这条曲线在这里有多陡。**这个问题有答案 —— 而找到它，就是微积分的前一半。

速度 = 距离的变化时间的变化 = 斜率同一个量，两种读法

行程记录仪

距离平均此刻

驾驶方式

匀速 · 加速 · 走走停停

暂停

The upper strip is the car on the road. The lower graph is the same trip drawn as a shape: time across, distance up.

第二章

每条光滑曲线其实都是直的

曲线怎么看都不直。可光滑曲线藏着一个让整门学科成立的性质：把任何一点看得足够近，弯就消失了。

01显然是弯的

这是一条扭动的线，上面标了一个点。在这个尺度上，曲线和那条虚直线毫无关系。盯住那个标记点。

02近十倍

放大。弯还在，但缓了 —— 注意，什么都没有被掰直。你只是在看同一条曲线更短的一截，而更短的一截弯得更少。

03近一千倍

现在曲线和直线叠在了一起；角落里的小地图显示这扇窗口已经小到什么程度。继续放大，两者之间的缝隙还会继续收窄。**「光滑」的意思恰恰就是这个：**放得足够大，每一点看上去都是一条直线。

04所以曲线确实有斜率

在这个放大倍数下，第一章的问题自己给出了答案。「曲线在这里有多陡」就是它化成的那条直线的斜率 —— 一个确定的数。那条线有个名字，叫切线，本章余下的内容就是：不用显微镜怎么算出它的斜率。

放大镜

曲线一条直线

放大倍数×1.0

看哪里x = 1.20

Both directions are magnified by the same amount, which is what makes the flattening honest rather than a drawing trick.

第三章

把缝隙合上，看那个数字安定下来

放大能说服眼睛，却算不出东西。下面是同一个想法的算术版 —— 它就是真正的定义，每一门微积分课开篇的那个，只是去掉了唬人的那层壳。

01纵向差除以横向差

斜率是个十岁小孩都能算的分数：曲线升高了多少，除以你横着走了多远。在右边隔 h 标出第二个点，穿过两点的直线，斜率你用手就能算。

02现在把缝隙合上

用滑块缩小 h，第二个点就沿着曲线滑向第一个点。直线一路转动。它始终只是两个普通点之间的普通斜率 —— 到目前为止什么神秘的事都没发生。

03数字安定下来了

看那张表。h = 1 时斜率是一个值，h = 0·1 时是另一个，h = 0·001 时又是另一个 —— 但这些数字不是在乱走，它们在逼近一个值。那个值，正是切线斜率一直以来的答案。

04从不真的取零

注意我们从不做的一件事：把 h 设成零。那会是 0 ÷ 0，第一章的那个耸肩。我们问的是：当 h 收缩时，答案朝哪里去，然后取那个目的地。数学家把这个目的地叫作极限，而这个特定的极限叫作导数。

f′(x) = limh→0 f(x+h) − f(x)h读作：当缝隙收缩到无，纵向差 ÷ 横向差朝哪里去

两个点，一个斜率

f穿过两点的直线极限

两点之间的缝隙 (h)1.500

点落在哪里x = 1.00

f(x)

x² · x³ − 3x · sin x

缝隙 h	纵向差 / h	与极限的距离
1	3.00000	1.00000
0.5	2.50000	0.50000
0.1	2.10000	0.10000
0.01	2.01000	0.01000
0.001	2.00100	0.00100

第四章

斜率本身也是一条曲线

一个点给出一个数。在每一点都问一遍，答案就排成了第二条曲线 —— 而这第二条曲线，对第一条的刻画，比第一条对自己的刻画还要好。

01一次一个点

标记点沿曲线行走，切线随之倾斜：这里陡，那里缓，左边那段则朝下倾。在画面上拖动可以自己移动它，也可以让它自动扫过。

02把每个斜率记下来

点的每一个位置都对应一个斜率 —— 一个数。把这个数当作高度，画在下方的画框里。虚线把两个标记连起来：它们是同一个事实，画了两遍。

03这份记录是一条曲线

一路扫到底，记录就填满了。这条新曲线叫 f′，念作「f prime」：f 的导数。给它一个 x，它就告诉你 f 在那里升得有多陡。

04怎么读它

f′ 在零之上的地方，f 在上升；在零之下，f 在下降。f′ 穿过零的地方 —— 那些琥珀色的线 —— f 走平了：一个峰或一个谷。你现在不用看曲线就能描述它的形状，而这正是下一章要兑现的东西。

dydx = f′(x)两种记法，一个想法 —— 微小变化之比，或者一撇

斜率，画出来

ff′走平之处

f(x)

x² · x³ − 3x · sin x · eˣ · x·e^(−x²/4)

暂停扫描

Upper frame: the function, with the tangent at the moving point. Lower frame: that tangent's slope, recorded as a height.

第五章

在山顶上，地面是平的

导数几乎所有的实用价值，都在这一句话里。凡是你想做到最大或最小的东西 —— 利润、强度、油耗、废料 —— 都落在斜率为零的地方，而现在你不用猜就能找到它。

01一张纸板

三十厘米乘二十。四个角各剪掉一个正方形，把边折起来，贴上胶带：一个托盘。剪多大由你决定 —— 它同时决定了托盘有多深，以及还剩下多少底面积。

02看见这笔取舍

剪太少，得到一张带边的宽大废纸；剪太多，得到围着一点点空间的高墙。这里是同一张纸做出的三个托盘：中间那个的容量，是两边任何一个的两倍还多。

03把容积写成剪口的函数

把容积写下来，无非是乘法：深 x，底 (30 − 2x) 乘 (20 − 2x)。对着 x 画出来，这笔取舍就成了一个形状 —— 上去，翻过一个顶，再回落到零。拖动剪口，看那个点在曲线上跑。

04顶上是平的

在顶点处，切线是水平的：斜率为零。于是最佳剪口就落在 V′(x) = 0 的地方，这从「做一百个托盘试试」变成了一道待解的方程。它给出 x = 3·92 厘米，托盘容积 1056 立方厘米 —— 这张纸能做出的最大值。

V′(x) = 12x² − 200x + 600 = 0→ x = 3·92 厘米，而且这个答案是精确的

折起来的纸板

容积容积的斜率最佳剪口

四角剪口1.40 cm

斜率曲线

A sheet 30 cm by 20 cm. Whatever you cut from the corners becomes the height of the tray — and is taken away from its floor.

第六章

用矩形搭出来的总量

现在轮到另一个问题。假设你知道每一瞬间的速度，但没人记下距离。这辆车走了多远？乘法立刻失效 —— 速度 × 时间只在速度不动时成立，而它从来不肯不动。

01假装它从不改变

暂时把速度当成固定的，然后相乘：距离 = 速度 × 时间。在图上这个乘积就是一个矩形 —— 高是速度，宽是时间 —— 它的面积是一段距离。整整十秒一口气这么算，得到的答案说实话相当糟。

02把行程切开

把十秒切成四段。在每一段更短的时间里速度变化更小，所以「假装它恒定」这个谎撒得更小。四个矩形比一个更贴合形状，总和也更靠近真相。

03越切越薄

拖动滑块：二十片、一百片、两百片。阶梯把自己压向曲线，误差条一路排空。试着把每片的高度取在左端、中点、右端 —— 这些估计从不同的方向逼近同一个数。

04面积就是答案

把薄片缩到无，这个和就不再是估计：它恰好等于速度曲线下的面积，而那恰好是走过的距离。这个极限叫作积分，∫ 这个符号是一个拉长的旧式 S —— 取 sum（求和）的意思。

∫010 f(x) dx = f 之下的面积dx 是收缩之后，一个薄片的宽度

薄片

速度矩形真实面积

切多少片1

高度取在

left edge · middle · right edge

Height is speed, width is time, so every rectangle's area is a distance — metres per second times seconds.

第七章

斜率和面积是同一个问题

一章在问某样东西升得多陡，另一章在问它累积了多少。它们看起来毫不相干 —— 直到你把它们一前一后地做一遍，发现两者相互抵消。

01扫过面积

再取那条速度曲线，把从起点到移动点 x 之间的面积涂上色。x 往右走，涂色的量就增长。在每一个位置上它都是一个数：到那时为止车走了多远。

02把累计值画出来

把那个数送到第二个画框里，当作高度画出来。速度大的地方，累计值爬得陡；速度塌下去的地方，累计值只是慢慢往上蹭。这个累计值自己也是一条曲线 —— 叫它 A(x)。

03现在量一量它的陡度

给累计曲线加一条切线，读它的斜率。扫过的过程中比较那两个蓝色标签：**累计值的斜率，永远等于速度曲线的高度。**当然如此 —— 累计值增长得多快，就是速度。一个运算被另一个撤销，你就回到了出发的地方。

04这就是面积可算的原因

这是全部回报所在。要求 f 在两点之间围出的面积，你根本不必去加无穷多个薄片：找任何一个斜率等于 f 的函数 F，然后把它在两端的值相减。青色的括号显示同一段距离用两种方式量出来 —— 上面是面积，下面是高度差。

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)F 是任何一个斜率为 f 的函数 —— 这就是基本定理

扫描与累计

速率到此为止的累计高度 = 斜率

暂停扫描

Upper frame: the speed, with the area swept so far shaded. Lower frame: that shaded amount, plotted as a height.

第八章

同样的把戏，用在立体上

把一个难办的东西切成简单到能量的小块，再把小块缩小 —— 这不是关于面积的小聪明，而是微积分几乎所有应用背后的那一步。这里它又出现了一次，只是往上多了一个维度。

01把曲线旋转起来

取一条曲线，绕一条水平轴整整转一圈。它扫出的形状就是一个立体 —— 一只花瓶、一个瓶子、一片涡轮叶片。现在问那个别扭的问题：**它的体积是多少？**任何手册里都没有这个形状的公式。

02一片是容易的

横着切下一片薄板。它非常接近一个平的圆盘：半径 r(x) 的圆，加上一点厚度。而圆盘的体积是中学课本里就有的 —— 圆的面积，乘以它有多厚。

03切开，再相加

用这样的圆盘填满整个形状，把它们的体积加起来。在轮廓弯曲的地方，这摞圆盘明显越出去了 —— 这里多一点，那里少一点。拖动把立体转过来，从侧面很容易看见这级阶梯。

04把厚度缩小

把片数加上去。台阶淡出，这一摞落到真实形状上，读数里的误差一路排空。在极限里，这个和又一次被写成积分 —— 和面积那一章一模一样的机器，只是用在了另一种简单小块上。

V = ∫ab π r(x)² dx高亮的那部分，无非是一个圆的面积

旋转体

一摞圆盘真实体积

切多少片1

停止旋转

Each disk is a cylinder: area of a circle times a thickness. Add them up, shrink the thickness, and the staircase of disks becomes a smooth solid.

第九章

用乘法搭出来的曲线

处理器会加法和乘法。它不会「做」一个正弦。凡是机器递回来的这类函数 —— 正弦、余弦、eˣ、对数 —— 底下都是一个多项式，而搭起它的正是导数。

01从切线开始

取那条在零处与曲线相切、斜率也相同的直线。靠近中间它还算个凑合的替身；走开一步就没救了。阴影区域就是它错得有多离谱。

02把弯也对上

加一个 x³ 项，大小要让这个多项式不仅升得一样快，弯得也一样 —— 也就是让它的二阶、三阶导数也和曲线对上。阴影向外退去。

03继续对下去

每多一次幂，就能多对上一阶导数；而每对上一阶导数，就换来更宽一段区间上的吻合。拖动滑块，看那个「吻合到」的读数一路变大。

04导数在这里挣到了饭钱

看看这些系数是由什么构成的：函数在单独一点上的各阶导数，除以阶乘。知道一条曲线在一个地方怎么弯、怎么扭、怎么再扭回来，就足以把它在整整一段区间上重建出来 —— 而这正是你桌上那台计算器里正在跑的东西。

f(x) ≈ f(0) + f′(0)x + f″(0)2x² + …每个系数都是某一点上的一个导数

用幂搭出的曲线

真实曲线多项式差距

用到的最高次幂x¹

曲线

sin x · cos x · eˣ

x …

第十章

整门学科，装进一屏

下面没有新东西 —— 这是一张供你上手拨弄的工作台。挑一个函数，自己去核对这一页的两个主张，这和看完一场论证走过去，是两回事。

01三个画框，一个函数

最上面的画框是你挑的函数。中间是它在每一点的斜率。最下面是它从零开始累积的面积。在画面上移动指针，三者会一起跟着动。

02竖着读一列

在任意一个 x 上，你现在有三个读数：有多高、有多陡、到此为止累计了多少。第一个是函数本身在说的话；另外两个，就是这一页从头到尾在谈的两个问题。

03这些特征对得上

青色的线：中间画框穿过零的地方，上面那个走平了。玫红的线：上面画框穿过零的地方，下面那个走平了。同一种关系，每次都下移一层。

04这就是这门学科

一门微积分课剩下的部分是技术 —— 比用极限更快的求导法则、找原函数的方法，以及把「极限」说清楚而不含糊其辞所需要的那套严谨语言。而想法，就是你刚刚看过的这两个。

一个函数，三种视角

f斜率面积

f(x)

x² · x³ − 3x · sin x · eˣ · x·e^(−x²/4)

Read down a column: the height of the middle frame is the steepness of the top one, and the steepness of the bottom frame is the height of the top one.

你现在知道了什么

六句话，没有一句需要符号。如果它们读起来显得理所当然而不是精巧， 这一页就做到了它该做的事 —— 教科书里的符号，就是这些话的速记，仅此而已。

曲线在一点上有斜率

把一条光滑曲线放大到足够倍数，它就成了一条直线。那条直线的斜率， 就是这个量在那一瞬间变化得有多快。

合上一道缝隙就能找到它

量出两个邻近点之间的斜率，再让它们靠拢。答案会安定在一个值上； 那个值就是导数。

斜率自己也构成一条曲线

在每一点都做一遍，答案就构成第二个函数，它说明第一个函数在哪里上升、 下降和走平。

平地标出最好与最坏

最大、最小、最省、最强：它们都落在斜率为零的地方， 于是一场搜寻变成了一道方程。

总量就是面积

把一个变化的速率切成薄片，假装它在每片上不动，加起来，再把薄片缩小。 总量就是它下面的面积。

两者相互抵消

累计值的斜率，就是你一直在累积的那个速率。所以求面积可以靠倒推导数， 而不必永远加下去。

符号解码

下面每一个都是上文某句话的速记。它们看着像一套外星字母， 多半只是因为没人把它们代表什么念出声来。

f′(x)「f prime of x」

f 在点 x 处的斜率。它本身就是一个函数：给它一个 x，它还你一个陡度。

dy / dx**「dee y by dee x」**

同一件事，写成它出身的那个分数：y 的一个微小变化， 除以引起它的 x 的那个微小变化。

limh→0**「h 趋于零时的极限」**

不是「把 h 设成零」—— 那会是 0 ÷ 0。它的意思是：当 h 收缩时， 答案朝着哪个数字去？

∫ab f(x) dx**「f 从 a 到 b 的积分」**

把 f(x) 乘上一条宽为 dx 的薄片，从 a 一路加到 b，并让薄片缩到无。 它是一块面积，通常也是某样东西的总量。

dx**「x 的一条薄片」**

收缩之后一个薄片的宽度。在 dy/dx 里它说明变化是相对哪个变量量的； 在 ∫ 底下它说明薄片是按什么切的。

F(b) − F(a)那条捷径

找任何一个斜率为 f 的 F，然后把它在两端的值相减。这就是基本定理， 也正是积分之所以算得出来的原因。

这一页上的每一幅画，都是浏览器直接从方程本身画出来的 —— 曲线、切线、矩形和立体都是在你阅读时算出来的，不是事先录好的。 随便拖动它们；这里没有一段是视频。